Perturbation Method for Particle-like Solutions of the Einstein-dirac-maxwell Equations

The aim of this Note is to prove by a perturbation method the existence of solutions of the coupled Einstein-Dirac-Maxwell equations for a static, spherically symmetric system of two fermions in a singlet spinor state and with the electromagnetic coupling constant ` e m ́ 2 < 1. We show that the nondegenerate solution of Choquard’s equation generates a branch of solutions of the Einstein-Dirac-Maxwell equations. Une méthode de perturbation pour les solutions localisées des équations d’Einstein-Dirac-Maxwell. Résumé. Le but de cette Note est de démontrer par une méthode de perturbation l’existence de solutions des équations d’Einstein-Dirac-Maxwell pour un système statique, à symétrie sphérique de deux fermions dans un état de singulet et avec une constante de couplage électromagnétique ` e m ́ 2 < 1. On montre que la solution non dégénérée de l’équation de Choquard génère une branche de solutions des équations d’Einstein-Dirac-Maxwell. Version française abrégée Dans un papier récent [5], par une méthode de perturbation, on a montré de manière rigoureuse l’existence de solutions des équations d’Einstein-Dirac pour un système statique, à symétrie sphérique de deux fermions dans un état de singulet. Dans cette Note, on généralise ce résultat aux équations d’Einstein-Dirac-Maxwell et on montre, dans le cas particulier d’un couplage électromagnétique faible, l’existence des solutions obtenues numériquement par F. Finster, J. Smoller et ST. Yau dans [7]. Plus précisément, en utilisant l’idée introduite par Ounaies pour une classe d’équations de Dirac non linéaires (voir [1]) et adaptée dans [5] aux équations d’Einstein-Dirac, on obtient le théorème suivant. Théorème 0.1. Soient e,m, ω tels que e − m < 0, 0 < ω < m et supposons m− ω assez petit ; alors il existe une solution non triviale de (1-5). Dans cette Note, on décrit la méthode utilisée pour démontrer ce théorème. Premièrement, par un changement d’échelle, on transforme les équations d’EinsteinDirac-Maxwell (6-9) en un système perturbé qui s’écrit sous la forme (11). On choisit ε = m− ω comme paramètre de perturbation. Deuxièment, on remarque que, pour ε = 0 et ( e m 2 < 1, ce système est équivalent au système (12) où l’équation pour la variable φ est l’équation de Choquard. Il est bien connu que l’équation de Choquard a une solution radiale positive. De plus, dans l’espace des fonctions radiales, cette solution est non dégénérée, dans le sens où le Date: December 18, 2009. 1 ha l-0 04 42 45 3, v er si on 1 21 D ec 2 00 9 2 SIMONA ROTA NODARI noyau de la linéarisation de l’équation contient seulement la fonction identiquement nulle. On appelle φ0 la solution du système (12). Ensuite, on observe que le système perturbé s’écrit sous la formeD(ε, φ, χ, τ, ζ) = 0 avec D un opérateur non linéaire de classe C1, pour un bon choix d’espaces fonctionnels. On prouve que cet opérateur satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites. En particulier, on montre que la linéarisation de l’opérateur D par rapport à (φ, χ, τ, ζ) en (0, φ0), Dφ,χ,τ,ζ(0, φ0), est une injection, grâce à la non-dégénérescence de la solution de l’équation de Choquard, et s’écrit comme somme d’un isomorphisme et d’un opérateur compact ; donc Dφ,χ,τ,ζ(0, φ0) est un isomorphisme. En appliquant le théorème des fonctions implicites, on déduit que, pour ε assez petit et e −m2 < 0, le système (11) a une solution. En conclusion, pour e −m2 < 0, 0 < ω < m et m− ω assez petit, les équations d’Einstein-Dirac-Maxwell possèdent une solution non triviale.